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La Geometría es a la vez una ciencia
deductiva y una ciencia que se ocupa del espacio que nos rodea.
Sus resultados se clasifican en axiomas y en teoremas.
Los axiomas se consideran evidentes y durante mucho tiempo se consideraron
susceptibles de establecer empíricamente. Los teoremas son verdades
no tan evidentes que pueden deducirse lógicamente de los axiomas.
Los Elementos de Euclides son un compendio de axiomas y
teoremas de la Geometría llamada Euclídea.
El axioma V puede formularse como la afirmación de que por
un punto exterior a una recta puede trazarse una única paralela
a esa recta. Se consideró cierto y evidente durante mucho tiempo.
Pero hay una dificultad para establecer empíricamente esta afirmación
que radica en la forma de definir las rectas paralelas. Se acostumbra
a definir rectas paralelas a las rectas que no se encuentran por mucho
que se prolonguen. Pero dadas dos rectas, cualquier prolongación
que hagamos de ellas es una prolongación finita (por nuestra naturaleza
finita) y susceptible de ampliación, de forma que si al prolongarlas
obtenemos que se cortan, podemos decir que son secantes, pero si no se
cortan no podemos saber lo que puede ocurrir cuando las prolonguemos más.
Nunca podemos concluir que son paralelas porque no podemos observar lo
que está infinitamente lejos. Aquí está, según
mi punto de vista, la dificultad de establecer empíricamente este
axioma. Como el V axioma es equivalente a la afirmación de que
la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos,
Gauss hizo medidas de los ángulos de triángulos con
lados enormes, pero siempre queda la duda sobre si la verdadera suma difiere
de dos rectos en una cantidad no apreciable por la precisión de
los instrumentos de medida.
Vista esta dificultad, nos podemos plantear si la afirmación correspondiente
al V axioma es deducible lógicamente de los cuatro axiomas anteriores,
es decir, si es un teorema. Muchos matemáticos, a través
de los siglos, han trabajado en este sentido sin tener un resultado satisfactorio.
En el siglo XIX, Lobachevski tuvo la idea de suponerlo falso y
explorar si había alguna contradicción entre las consecuencias
de los cuatro primeros axiomas y la negación del quinto, en cuyo
caso, se habría demostrado que el último era un teorema.
Pero no obtuvo ninguna contradicción, dejando el camino abierto
a la posibilidad de su falsedad.
Más tarde Poincaré ideó un modelo de plano
cuyas rectas son distintas a las habituales, pero en el que tiene sentido
hablar de los cinco axiomas y donde se puede comprobar que se verifican
los cuatro primeros pero que no se verifica el quinto. La existencia de
este modelo es una prueba de la independencia lógica de los axiomas.
Lo cual no implica que el espacio que nos rodea no sea euclídeo,
sino solamente que desde el punto de vista lógico, tiene igual
coherencia la geometría euclídea que la no euclídea.
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